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七八仙过海（第4页）

（a）a=4，x=1，∴y=41=4

（b）a=4，x=2，∴y=42=16（？）

（c）a=4，x=3，∴y=43=64

（d）a=4，x=4，∴y=44=256（？）

照这个结果来看，我们所用过的例子都合得上，那个回答大概总有些可靠了，就是几个不曾试过的数，想起来也还不至于错误。不过单是这样还不行，别人总得问我们要理由。此刻是无可延宕，只得找出理由来。

真要理由吗？就是将我们所用过的例子合在一起用了脑力去想，一定可以想得出来的：不过，这实在大可不必，有别人的现成架子可以装得上去时，直接痛快地装上去多么爽气。那么，在数学中可以找到这一栏吗？

可以。那就是排列法，我们就来说排列法吧。

先说什么叫排列法。

有几个不相同的东西，譬如A、B、C、D……几个字母，将它们的次序颠去倒来地排，计算这排得出的花头的数目，这种方法就叫排列法。

排列法的计算，本来比较复杂，而且一点不小心就容易弄错的，要详细地知道，自然你只好去读教科书或是去请教你的数学教师。这里不过说着玩玩儿，只得限于基本的几个法则了。

第一我们来讲几个东西全体的不重复的排列。这句话大约须得解释一下，譬如有A、B、C、D四个字母，我们一齐拿它们出来排，这叫全体的排列。所谓不重复是什么意思呢？那就是每个字母在一种排法中只需用一回。就好像甲、乙、丙、丁四个人排座位一样，甲既坐了第一位，其余的三位当然不能再归他坐了。

要计算A、B、C、D这种排列法，我们先假定有四个位置在一条直线上，譬如是桌上画的四个位置，A、B、C、D是写在四个铜元上的。

第一步我们来就第一个位置想，A、B、C、D四个钱统都没有排上去，所以我们无论用哪一个摆进去都行。这就可以知道第一个位置有4种排法。我们取一个钱放到了1，那就只剩三个位置和三个钱了，这就跟着来摆第二个位置。

外面剩的钱还有三个，第二个位置无论用这三个当中的哪一个去填它都是一样。这就可以知道第二个位置有3种排法。到了第二个位置也有一个钱将它占领时，桌子上只剩两个位置，外边只剩两个钱了。

第三个位置因为只有两个钱剩在外面，所以去填的方法也只有2个。

当第三个位置也被一个钱占领了时，桌上只有一个空位，外面只有一个闲钱，所以第四个位置的排法便只有1个。

为了容易明白起见，我们还是来不怕麻烦地画一个图。

仔细观察图35第一位，无论是A、B、C、D四个当中的哪一个，A或B或C或D，第二位都有3个排法，所以第一、第二位合在一起共有的排法是：

4×3

而第二位无论是A、B、C、D中的哪一个，第三位都有两个排法，所以一、二、三，三个位置连在一起算，一共的排法是：

4×3×2

至于第四位，那跟着第三位来已经是定了，只有一个方法。因此四个位置一总的排法是：

4×3×2×1=24

我们由图上去看，恰好一共是二十四排。

假如桌上有五个位置，外面有五个钱呢？那么第一个位置照前面说过的样儿有五个排法，到了第一个排定以后，下面剩四个位置和四个钱，它们的排法便和前面说过的一样了。所以五个位置五个钱的排法是：

5×4×3×2×1=120

前面是从1起将连续的整数相乘起来乘到4，这里是从1起乘到5。假如有六个位置和六个钱，同样地我们很容易知道是从1起将连续的整数相乘起来乘到6为止，就是：

6×5×4×3×2×1=720

譬如有八个人坐在一张八仙桌上吃饭，那么他们的坐法便有40320种，因为：

8×7×6×5×4×3×2×1=40320

你家请客常常碰到客人推让座位吗？真叫他们推去推来，要让完这40320种排法，从天亮闹到天黑也不能够呢。

一般的法则，假设位置是n个，钱也是n个，它们的排法便是：

n×（n-1）×（n-2）×…×5×4×3×2×1

这样写起来太不方便了，不是吗？在数学上，对于这种从1起到n为止的n个连续整数相乘的把戏，给它一个名字叫“n的阶乘”，又用一个符号来代表它，就是n！，用式子写出来便是：

n的阶乘=n！=n×（n-1）×（n-2）×…×5×4×3×2×1

所以

8的阶乘=8！=8×7×6×5×4×3×2×1=40320

6的阶乘=6！=6×5×4×3×2×1=720