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七八仙过海（第5页）

5的阶乘=5！=5×4×3×2×1=120

4的阶乘=4！=4×3×2×1=24

3的阶乘=3！=3×2×1=6

2的阶乘=2！=2×1=2

1的阶乘=1！=1

有了这个新的名词和新的符号，我们说起来就便当了！

“n个东西全体不重复的排列就等于n的阶乘n！。”

但在平常我们将东西来排列的时候，往往遇着位置少东西多的情形。举个例子说，譬如你有一位朋友，他运道来了，居然奉国民政府的命令去当什么县的县长。这时你跑去向他贺喜，这自然是值得贺的，不是吗？已升官就可发财了！但是你见着他时，一眼就可以看出来，他的脸孔上直一条横一条的喜纹当中也就夹着正一条歪一条的愁纹。你若问他愁什么，他定会告诉你，一个衙门里不过三个科长，六个科员，两个书记，荐人来的条子倒有三四十张，这实在难于安排。

真的，朋友，莫怪你的朋友难安排，他想不得罪人简直不行！就算他只接到三十条荐人的条子，就算他的衙门里从科长数到洗马桶的一共要用三十个人，但是人全是两条眉毛横在两只眼睛上的，哪个会看得见自己的眉毛的粗细，哪个不想当第一科科长！倘使你的朋友请你替他安排，你左排也不是，右排也仍然不是，你也只得在脸上挂起愁纹来了。三十个人物排去排来有多少？我没有这样的工夫去算，你只要想，单是八的阶乘就已有40320了，那三十的阶乘将要是怎样大的一个数！

笔一滑，又说了一段空话，转到正文吧。

譬如你那朋友接的条子当中只有十条是要当科长的，他的科长的位置一共是三个，他有多少安排法呢？这就归到第二种的排列法。

第二我们来讲几个东西部分的不重复的排列法。因为粥少僧多，所以只有一部分人的条子有效。因为国民政府的命令兼差不兼薪，没有哪个人这般傻气，吃一个人的饭肯做两个人的事，所以排起来不重复。

从十个条子当中抽出三个来，分担第一、第二、第三科的科长，这有多少法子呢？

朋友，你对于第一个法子若真是明白了，这一个是很容易的。

第一科长没有定人时，十张条子都有同样的希望，所以这个位置的排法是10。

第一科长已被什么人得去了，只剩九个人来抢第二科的科长，所以第二个位置的排法是9；同一个道理第三个位置的排法是8，照第一种方法推来，这三个位置的排法一总应当是：

10×9×8=720

若是你的朋友接的条子中间，想当科长的是十一个或九个，那么其排法同样地就应当是：

11×10×9=990

或9×8×7=504

若是他的衙门里还有一个额外科长，一共算有四个位置，那么他的安排应当是：

10×9×8×7=5040

11×10×9×8=7920

或9×8×7×6=3024

我们仍然用n代表东西的数目（在数学上算数的时候，朋友，你不必生气，人也只是一种东西，倒无关于他有没有当科长的福分），不过位置的数目既和东西的不同，所以得另用一个字母来代表，譬如用m。这一来我们的题目变成：

“在n个东西里面取出m个来的排法。”

照前面的推论法，m个位置，n个东西，第一位的排法是n；第二个位置的排法，因为东西已少了一个，所以只有n-1；第三个位置，东西又少了一个，所以只有n-2个排法……照推下去，直到第m个位置，它的前面有m-1个位置，而每一个位置都拉了一个人去，所以被拉去的共有m-1个人，就总人数说，这时已少了m-1个，只剩n-（m-1）个了，所以这个位置的排法是n-（m-1）。

这样一来，一总的排法便是：

n×（n-1）×（n-2）×（n-3）×…×[n-（m-1）]

比如n是11，m是4，代进去就得：

11×（11-1）×（11-2）×（11-3）=11×10×9×8=7920

在实际上只要从n写起，往下一共连着写m个就行了。

这种排法也有一个符号，就是Amn。A右下方的n表示一总的个数，A右上方的m表示取出来排的个数，所以如在26个字母当中取出5个来排，它的方法一共就是A526。

将上面的计算用这符号连起来，就得出下面的关系：

Amn=n×（n-1）×（n-2）×…×[n-（m-1）]　（1）

这里有一件很有趣味的事，譬如我们将前面说过的第一种排法也用这里的符号来表示，那就成为Ann，所以：

Ann=n！　（2）

在n个东西当中去了m个，剩的还有n-m个，这n-m个若自己掉去掉来地排，它的数目就应当是：