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四正态分布理论在测验中的应用（第1页）

四、正态分布理论在测验中的应用

如果研究资料隶属于正态分布，为了将其更好地数量化，得到较为符合实际的数量化结果，通常会利用正态分布的特性进行转化。

（一）化等级评定为测量数据

在心理与教育评价中，对有些心理量如爱好程度、意志强弱、能力大小等常用等级评定法赋予一定的评价分数或等级分数。应用这种方法在最后处理结果时，常会遇到以下两个问题：第一是不同评定者由于各自的标准不同，同一个心理量进行评定时可能给的等级分数不等，这时应如何综合每个评定者的结果？第二是等级分数界线宽，又不一定是等距尺度，要比较不同被评定的心理量的差异，应如何进行？上述两个问题的解决，都需要首先将等级评定转化为测量数据。

将等级评定转化为测量数据，首先要考虑被评定的心理量是否为正态分布，若为正态分布，可以转化为测量数据，即标准分数Z。若不是正态分布，则不能将等级评定转化为Z分数。将等级评定转化为测量数据的方法是用各等级中点的Z分数代表该等级分数。具体步骤如下：①根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率；②求各等级比率值的中间值，作为该等级的中点；③求各等级中点以上（或以下）的累加比率；④用累加比率查正态表求Z值，该Z分数就是各等级代表性的测量值；⑤求被评者所得评定等级的测量数据的算术平均数，即为每个被评定者的综合评定分数。

【例6-2】表6-2是3位教师对100名学生的学习能力所作等级评定的结果。表6-3是3名学生从3位老师那儿获得的评定等级，试将其转化为Z分数。

表6-23名教师对100名学生的评定结果

表6-3各学生所获得的评定等级

解：此题涉及的是对学习能力的评定，学习能力的分布一般为正态，故可将等级评定转化为测量数据进行比较。此外，表面上看学生1与学生2的等级相同，都是两个A，一个B，学生3最差。但从表6-2分析，教师甲对A等评定较严，教师乙稍宽，教师丙更宽。因此，虽然等级相同，但其等级值并不等价，必须将等级评定转化为测量数据。表6-2中三名教师的评定结果，可图示如下：

图6-5化等级评定为测量数据

根据表6-2的资料，用上述方法将各教师的等级评定转化为Z分数，见表6-4。

表6-4化等级评定为Z分数

有了各位评定者所评等级的代表值Z分数，就可据此求3名学生的平均Z分数了。学生1的平均成绩为（0。94+1。65+1。28）3=1。29，学生2的平均成绩为（1。96+0。84+1。28）3=1。36，学生3的平均成绩为（-0。94+0-0。32）3=-0。42。这三名学生的平均成绩表明，虽然学生1与2在评定的等级上相同，但二者的Z分数不同。

（二）确定测验题目的难易度

测验题目的难易度一般用答对者的百分数确定，但是百分数不是等距尺度，有时要比较不同难易度题目之间的难度距离，需要将难易百分数根据正态分布概率转换成难度分数。原理是假设一个测验中不同难易题目的分布是正态的，即一个测验中通过率较大和较小的题目很少，而通过率居中的题目较多。确定题目难度分数的具体步骤如下：①计算各题目的通过率，即答对人数与参加测验人数的比例，在正态表中它代表的是曲线下的面积；②用0。5减去通过率，不计正负号，获得正态分布表中的概率值，即表6-5中第三列的p值；③依照p值查正态表中相应的Z值，通过率大于50%的Z值计为负值，通过率小于50%的Z值计为正值；④将查表得到的Z分数加上5（假定正负5个标准差包括了全体）便可得到从0～10的十进制的难度分数值。这样就有理由认为难度分数是等距尺度，不同题目之间的难易差异就可直接比较。具体计算见表6-5。

表6-5难度分数的计算

（三）在能力分组或等级评定时确定人数

假定能力是正态分布，这时若将能力分组，各组人数应是多少？或评定不同等级，各等级人数应是多少才能使分组或评定等级构成等距的尺度？依据正态分布理论确定各组或各等级的人数，具体方法如下：①将6个标准差（假定6个标准差包括了全体）除以分组的或等级的数目，做到Z分数等距；②查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等距的情况下应有的比率；③将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分组该有的人数。最后所计算的各组人数分布，应与总数相等。有时由于从Z查p有误差，使结果不能与总数相符，这时应将居中的那一组做适当的增加或减少，因为这样做，对百分比率的影响甚小。

【例6-3】要把100人在某一能力上分成5个等级，各等级应该有多少人，才能使等级评定做到等距？

解：6σ÷5=1。2σ，要使各等级等距，每一等级应占1。2个标准差的距离。确定各等级的Z分数界限，然后查表。具体计算见表6-6。

表6-6能力分为5组时各组人数的分布

表6-6中C组按计算应为45，实际写44，是为了使各组人数之和与总数相等。

（四）测验分数的正态化

学生的学习成绩、能力或智力等教育或心理现象，一般都是正态分布，因而在研究中总是从理论上假设研究对象在总体上是呈正态分布的。但是，由于抽样误差或测试题目难度等偶然因素的影响，实际得到的原始分数分布往往不是正态分布。为了解决这类问题，可采用一定的统计方法将非正态的原始分数转换成正态分布。在编制测验时，也常会遇到已知某总体的分布为正态，但由于所取样本不是正态，这时也需要按其总体将样本分布正态化。这种将样本原始分数分布转换成为正态分布，称作次数分布的正态化。正态化的步骤是：当原始分数不服从正态分布时，先将原始分数的频数转化为相对累积频数（也就是百分等级），将它视为正态分布的概率，然后通过查正态分布表中概率值相对应的Z值，将其转换成Z分数，达到正态化的目的。正态化是利用改变次数的方法，将原来偏态分布中众数所偏的一边拉长，使之成为正态，这是一种非线性转换。一般情况，一组分数正态化后，其原始分数两端相应的Z分数绝对值比较接近，但没正态化时两端的原始分数对应的Z分数绝对值相差较大。正态化是建立正态标准分数的关键。但原始分数的正态化也有一定的前提条件，即研究对象的总体事实上应该是正态分布，否则就会歪曲事实，这是使用各种“正态化标准分数”所必须注意的。

图6-6正态化示意图

T分数（Tscores）是从Z分数经过转化而来的一种正态化的标准分数，它是麦克尔（W。A。McCall，1939）创用的方法。心理与教育测验常用它来建立常模。它是将标准分数扩大10倍，再加上50。公式如下：

式中：T表示T分数

Z表示标准分数

T分数的计算分两个步骤：第一步是先将原始分数正态化，第二步是把正态化的Z值代入T值公式加以直线转换。当原始分数不服从正态分布时，需要做第一步。当原始分数服从正态分布时，直接根据公式求出Z值，再将它代入T分数公式就可计算出T分数。由于T分数是由标准分数转换而来的，所以它不仅具备了标准分数的所有优点，而且克服了标准分数较难理解的不足。首先，它没有负数。同时，若出现小数时可以四舍五入为整数，而误差不会很大。其次，它的取值范围比较符合百分制的记分习惯，易于被人们接受。再次，如果可以从理论上假设某一测验的分数应该是正态分布，只是由于抽样误差等偶然因素导致了原始分数偏态分布，那么，运用T分数的方法可迫使其成为正态。