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第一节 天文学与数学（第2页）

浑象是秦汉时期天文学上的一项重要发明。西汉宣帝时，耿寿昌首创了演示天象的一种仪器，称之为浑象，用铜铸成，它跟现今的天球仪相似。到东汉时，张衡又在此基础上，发明了水运浑象。他用一个直径大约五尺的空心铜球表示天球，上面画着列宿和互成24°交角的黄道赤道，球外有地平圈和子午圈，子午圈上支架着一根天轴，天轴跟地平圈大约成24°的交角，天球可以绕天轴转动。天球转动的时候，有一半露在地平圈之上和四时的天空星象相符；有一半隐在地平圈之下。张衡还利用漏壶流水的等时性，用漏水做动力，巧妙地通过齿轮系统的转动，驱使天球每日均匀地绕天轴旋转一周，这样浑象也就自动地、近似正确地把天象的一日变化演示了出来。这是后世得到充分发展的水运浑象仪的鼻祖。浑象的发明，为人们观测天体的运动变化提供了一个形象、直观、简便的途径，为中国古代天文学的发展作出了重大贡献。

星图的制作是对恒星位置观测成果的形象记录，用来帮助进行天文观测。中国的星图起源于所谓“盖图”，据《周髀算经》记载，它是用来演示盖天说的。它是把在中国中原地区全天可见的星象画在一张圆形的图上，圆心是北天极，外面有几个同心圆，最小的圆圈是恒显圈，最外的圆圈是恒隐圈，中间的圆圈是天赤道。图上还画有表示黄道的圆圈。随着对天象观测结果的积累，星图所记录的星辰数目也逐渐增多。到东汉初年，星图上载的恒星有118宫，计783颗。这一数目比《史记·天官书》所记载的又有了增加。由此也可以看出天文观测手段的改进对于天文学发展的促进作用。

三、天体结构理论

天、地、日、月、星辰是怎样产生的，它们之间的关系如何，又是怎样运动的？这些是天文学发展中必然会遇到的问题，也是古代思想家和科学家们经常思索、研究的问题。世界上所有历史悠久的民族对这些问题都作过自己的回答。早在先秦时期，中国古代的先哲们就对此作过比较深入的探讨。秦汉时期的科学家们在前辈业已取得的成就的基础上，提出了独到的见解，并且初步奠定了中国古代传统的天体结构理论。

张衡塑像

东汉时期著名的科学家张衡，不仅在天文历算、仪器制作上卓有成就，而且在天文学理论上也颇有建树。张衡（78—139年）字平子，南阳郡西鄂城（今河南南阳北石桥镇附近）人，曾任太史令等职。在他的科学名著《灵宪》中，对宇宙的生成和演化有详细的描绘。他说，宇宙的生成和演化可以分为三个阶段：第一阶段为“太素之前”，其中只是一片空虚，其外什么也没有，故“不可为象”，但“道”的“根”却含在里面；第二阶段为“太素始萌”，道根的存在使能“自无生有”，出现了“混沌不分”的状态；第三阶段为“元气剖判”，此时“刚柔始分，清浊异位。天成于外，地定于内”。应该说，张衡的这一观点与先秦时期道家的本体论以及汉代道家的观点有某种直接的渊源关系。如战国时期的宋、尹学派就已经有气是宇宙万物本原的思想。到了西汉，由淮南王刘安和他的门客编著、成书于汉武帝时代的《淮南子》一书，也认为天地日月星辰都是从元气派生出来的，它们都有一个发生发展的历史，是元气在它发展的不同阶段上的产物。这一关于宇宙演化的思想，是符合辩证法的。不过，其元气是从虚无中产生的说法，无疑是唯心主义的。在《灵宪》一书中，张衡还提出了宇宙无限的看法。他说：“宇之表无极，宙之端无穷”，明确表述了宇宙在空间和时间上都是无穷无尽的思想。这在当时是难能可贵的。此外，《灵宪》中还有不少对天体的精辟论述，如说“日譬就火”，“火则外光”，将太阳描述为一团火很有见地；又如说“目光生于日之所照，魄生于日之所蔽，当日则光盈，就日则光尽”，是关于朔、望日相变化的科学论断，等等。总之，《灵宪》与司马迁的《史记·天官书》一样，是一部不朽的古典天文学名著。

在中国古代，人们对于宇宙结构、日月星辰间的关系也作了广泛的探讨，并提出了各种不同的见解。到了汉代，逐步形成了言天之家三足鼎立的局面，即所谓“言天三家：一曰盖天，二曰宣夜，三曰浑天”[1]。这也是中国古典天文学关于宇宙结构的基本看法。

早在西周时期，就已经有人提出了盖天说，认为“天圆如张盖，地平如棋局”[2]，说的是天圆地方。战国时期，有人对此提出怀疑，将其修改成为“天似盖笠，地法覆槃”[3]，认为天像盖在上面的一顶斗笠，地像倒扣着的一只盘子，就是说地面不是平的而是拱形的。到了西汉，仍旧有人坚持这一说法。成书于西汉后期的《周髀算经》就是盖天说的代表作。《周髀算经》的盖天说，袭用了战国时期的天形如笠说，认为天和地是两个相互维持相同间距的弧面，天中央是极，与极相对应的地面位置谓之极下，“天离地八万里”。太阳绕极旋转，冬至时太阳处在最外道，故天弧面的外沿大圆即冬至日道叫“外衡”。外衡平面在极下高出地面两万里，距极则是6万里。这一说法，克服了过去天圆地方说不能解释天地四角不相合的漏洞，是对天地结构认识的进步。此外，《周髀算经》的盖天说，还有了不同地理纬度处同一天正午表影长度不等的概念，解决了方位测量的理论根据和实测方法，并有了不同地域气候不同与太阳相对位置有关的初步印象。但是，由于《周髀算经》盖天说的数学模型及数据并不正确，其说法被越来越多的天文观测事实所否定，因而到西汉末年在哲学家扬雄提出了难盖天八事后，影响日渐缩小。

宣夜说的最早起源已不可考。据《晋书·天文志》记载：“宣夜之书亡，惟汉秘书郎郗萌记先师相传云：‘天了无质，仰而瞻之，高远无极，眼瞀精绝，故苍苍然也。譬之旁望远道之黄山而皆青，俯察千仞之深谷而窈黑，夫青非真色，而黑非有体也。日月众星，自然浮生虚空之中，其行其止皆须气焉。……’”郗萌生活于东汉前期，比张衡略早。宣夜说认为，并不存在一个有形质的天壳，人看到的天无边无垠。日月星辰就在这无边无际的虚空中飘浮，互不相关，绝无联系，或进或退，或迟或疾，听其自然，无所根系。这一学说比较接近现在所认识的宇宙。这比起古希腊的天文学家亚里士多德和托勒密曾提出过的“天与地像一个同心水晶球”的观点要先进得多。[4]但是，由于这一学说仅停留于思辨性的论述上，对于天体的活动缺少具体的说明，因而在当时影响并不大。

相比之下，浑天说是“言天三家”中最具有影响的一家。浑天说产生的年代可以追溯到战国时期。它是人们在使用仪器测量天体位置的基础上产生的一种天体结构理论。人们在使用赤道式简单仪器观测时，就能发现各个天体都有围绕北极的东升西落的视运动，运动速度均匀。由于对圆早有认识，不久这种运动轨迹就同圆联系起来而产生了天赤道、黄道等概念，从而为浑天说的产生创造了条件。到了汉代，由于浑仪的制作，这一学说日渐成熟。汉代许多著名的天文学家如落下闳、耿寿昌、鲜于妄人、张衡、蔡邕等人，都为浑天说的发展和完善作出了贡献。浑天说的代表作是张衡的《浑天仪图注》。它指出：“浑天如鸡子，天体圆如弹丸，地如鸡中黄，孤居于内，天大而地小。”这就是说，天是一个浑圆的壳，而地则是居于天壳中间的一个圆球。浑天说还认为，日月星辰都是缀于天壳之上，随天壳绕着过南北极的轴而运动的。这是一种以地球作为中心的宇宙结构理论。由于这一理论比较近似地说明了天体运行的有关现象，同时又为浑仪的制作提供了理论依据，因而长期成为我国古代居于主导地位的一种宇宙理论。当然，浑天说作为一种宇宙构造学说也不是没有缺陷，随着生产力的发展和科学技术水平的提高，浑天说逐渐被新的宇宙理论所取代。

四、《周髀算经》中的数学运算

中国传统数学自古就受到天文历法的推动，在古代的天文、历法著作中，往往有丰富而又深刻的数学内容。《周髀算经》虽然主要是一部天文著作，是“盖天说”的代表作，但其中包含了许多数学内容，反映了当时人们所取得的数学研究成就，也可以说是流传至今的中国最早的数学著作。

关于《周髀算经》的成书年代，学者们向来有不同的意见。一般认为，书中有春秋以前遗留下来的文字，主要为第一部分，由汉人补缀而成，补缀成书的时间大约在西汉成帝与东汉桓帝之间的百余年中，成书后继续由后人修饰、注解和增补，才有了二卷本和各家注本，因第一部分只有265字左右，所以该书主要是由汉人写成的。

在《周髀算经》中，还出现了许多复杂的分数运算。例如，在计算小岁、大岁、经岁、小月、大月、经月末月球对其故舍过不及的度数（均称“不及故舍”）时，用到如下运算：

此外，《周髀算经》中还有许多重要的数学概念，如关于规矩方圆、方向线、分数的四则运算、开方法的论述，等等。这里限于篇幅，不再作详细的介绍。

五、中国最早的数学专著——《九章算术》

在流传至今的中国古代数学著作中，《九章算术》是最早的一部数学专著。关于该书的作者及成书年代，史书缺乏明确的记载。一般认为，它不是一时一人的著作，而是在漫长的岁月里，经过很多人修改补充而逐渐发展、完备起来的。我们现在只知道西汉初年的张苍、耿寿昌等人曾经对此书作过增补。据研究，它最后成书至迟在东汉前期（1世纪），但是它的基本内容却在西汉后期（前1世纪中叶）已经大体定型。《九章算术》是中国古代数学的经典著作。它既包含有古代早已解决了的数学问题，也有西汉中期人们新获得的数学知识，是秦汉时期中国数学方面的集大成之作。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。

今本《九章算术》是从《永乐大典》中辑出的刘徽注本，全书收有246个数学问题，分为九类，就是“九章”。每题有答案，一题或若干题后有解法。《九章算术》的分类，不是按计算方法来分的，而是根据题目的内容划分的。就计算方法而论，各章不能不常常异同互见。概略而论，方田章中所述的分数计算法，粟米、均输、衰分等章中的比例问题，以及盈不足章中的盈亏问题，是属于算术内容的；方田、少广章中的面积计算，商功章中的体积计算以及勾股章中的直角三角形的有关计算，属于几何问题；少广章中的开方术（开平方和开立方），方程章中的方程及正负数问题有人把它们归入代数问题；还有一些题目，涉及等差级数、等比级数、矩阵等问题。其内容之丰富多彩，由此可见一斑。

《九章算术》的第一章名为“方田”。这一章的主要内容是对各种田亩面积的计算，其中涉及分数的四则运算法以及为此必须使用的约分、通分法。在书中，分数的加法称为“合分”，运算的步骤是：“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一，不满法者，以法命之；其母同者，直相从之。”就是将某一分数的分子依次同其余各分数的分母相乘作为新分子，所有分数的分母相乘作为新分母，这叫做通分；各新分子相加作为和之分子，新分母作为和之分母，就得到了诸分数之和。分数的减法叫做“减分”，其算法略。分数的乘法有两种：真分数相乘名为“乘分”；代分数相乘名为“大广”，其算法与今相同。分数的除法名为“经分”，运算的法则是先通分，使有相同的分母，然后按整数除法进行。例如《经分》第二题为：“有三人三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三，问人得几何。”其算法是：

关于约分的方法，《九章算术》也有明确的记载：“可半者半之，不可半者副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”“可半者半之”，就是首先看分母、子能否用2约简，因为这最容易判断。不能被2除时再用求等法约简，求等的方法是“副置分母子之数，以少减多，更相减损”。“副置分母、子之数”，就是把分母、子之数分别布在筹算板上；“以少减多”，是从多中减去少，即从大数中减去小数；“更相减损”即辗转相减，如果分母大于分子，先用分母减分子，减一次或若干次之后，就会出现分母小于分子的情况，这时再用分子减分母，等减到小于分母时，又重新以分母减分子。这样一直进行下去，直至分母与分子相等，这个等数就是分子分母的最大公约数。所以，中国古代算书把约分叫做求等法。现代算术中，求二整数的最大公约数方法有二，一是辗转相除法，一是求分母子的公因子法。前者正是《九章算术》中“更相减损”法的演变，不过更为简单。但在当时人们就能解决这样一些较为复杂的数学问题，还是十分难得的。

值得一提的是，自《周髀算经》出现勾股定理以后，《九章算术》又将其应用范围大大扩展了。在《九章算术》中，不但应用勾股定理由直角三角形的两边求第三边，还进一步推求勾、股、弦及其和与差共九个量之间的关系，已知其中任意二个量，就可以求出其余各量。又如，它还给出了直角三角形内切圆、内接正方形的求法，即所谓勾股容圆、勾股容方问题。对于一般三角形相似的条件，书中虽没有专门论述，但凡是某一直角三角形的任一条直角边和弦为另一直角三角形的一条边和弦的延长线或部分重合，就认为它们是相似的，直接应用对应边的关系相互求证，即所谓：“旁要云者，不必实有是形，可自旁假设要取之。”这些，都说明比起《周髀算经》来，《九章算术》在数学研究领域又有了很大的提高。

开平方术、开立方术以及线性方程组的解法，是我国古代数学的重要内容，它们之间又存在着非常密切的关系。通过开平方术、开立方术，不但可以求解二元二次方程、二项三次方程，而且可以解一般的二次数值方程和三次数值方程。它也是我国古代解高次数值方程的基础。在《九章算术》中，对这些算法记载十分详尽。开平方的根据是由正方形的面积求边长。求面积时，正方形田的面积是一边自乘，那么已知面积求正方形边长时就导致了开平方的提出。在《周髀算经》中就已经有了开平方法，其中给出了一些数字的平方根，但直到《九章算术》才详细叙述了开方的方法。开立方法是在计算立方体边长的要求下产生的。《九章算术》中开方法有很高的数学水平。到11世纪中叶的宋代，在九章阐发的开立方术的基础上又产生了开任何次幂法，即所谓“增乘开方法”，还创造了天元术及高次方程的解法，使我国的开方术在世界上一直处于领先的地位。欧洲直到17世纪开立方法仍很落后，只相当于我国《九章算术》的水平。此外，《九章算术》中还介绍了许多方程组的解法。方程章中共记载了18题，其中最高的是五元一次方程组，解法同现代数学中联立方程组的解法一样，采用的是消元法。其中用算筹解联立方程组时在筹算盘上布算只布各项系数，而且纵列，形式与现代数学中的行列式完全相同，其计算法在行列式中也是成立的。这项成就也比欧洲数学发展水平早，欧洲直到16世纪才有人研究三元一次方程组，有关线性方程组的理论及其解法直到17世纪末才建立。

另外，《九章算术》在解联立方程组时，为了消去某一项，很容易出现其他项减数大于被减数的现象，这就导致了负数的出现。《九章算术》中用赤筹表正数，用黑筹表负数，正负数的加减法称为正负术。内容是“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。其中前四句是减法法则，后四句是加法法则；“除”表示减掉，“益”表示相加。这里不仅提出了正负数的概念，而且还给出了加减运算法则。正负数的提出，是中国数学发展史上的一大成就，对数学的发展有着十分重大的意义。在世界上，其他国家最早是印度人于7世纪才最先提出负数；而在欧洲，直到17世纪才出现了第一次较为圆满地论述负数的著作。

以上只是对《九章算术》内容作了一个较为粗略的介绍，既不够系统，也不够全面。但是，仅凭这些，就足以说明它在中国古代数学发展史、乃至世界数学发展史上的重要地位。也正因为如此，所以在《九章算术》出现后，历代数学家有不少人曾经对它进行多次注释，并被封建政府规定作为进行数学教育的教科书，名列于“算经十书”之中。此书还流传到朝鲜和日本，对朝鲜和日本古代数学的发展也起了积极的推动作用。现在，此书已被译成俄、德、日等多种文字出版，受到了各国学者的重视。