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三十五孙子点兵（第2页）

七子团圆正半月，

除百零五便得知。’

“把数字藏在诗歌里面，‘七十稀’‘廿一枝’和‘正半月’，就是暗指三个关键的数字70，21，15。

“三三数之，取数七十，与余数二相乘；

五五数之，取数二十一，与余数三相乘；

七七数之，取数十五，与余数二相乘。

“将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。能减多少个105就减多少个，这样就能获得最小解。列成算式就是：N=70×2+21×3+15×2-2×105=23。换句话说，23之后每隔105就有一个解。”

“哦，这是因为105是3、5、7的最小公倍数吧！”妞妞的理解能力确实在加强。

“对！余数其实还是可以变动的，《孙子算经》也说到只要把上面算法中的余数分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》给出了通用的公式：

N=70×R1+21×R2+15×R3-P×105（N，P是整数）。

“妞妞可以任意去试，绝不会有错。只是我们谁都会问这三个关键性的数字又是如何来的呢？这个标准公式又是如何获得的呢？”

妞妞听得很认真，一言不发地点点头，聚精会神地看着爸爸。爸爸在纸上写下如下的算式：

“也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2，k2=1，k3=1，那么整数ki（i=1，2，3）的选取使所得到的三个数70、21、15被相应模数除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况。”爸爸接着写道：

“对呀！好奇妙耶！这就像是设计出来的！”妞妞拍了好几下手，兴奋得直想跳。

“这个数字不能保证它是最小的解，所以就需要减掉它们的公倍数105，能减多少个就减多少个，直到结果比公倍数小为止。70×R1+21×R2+15×R3-P×105这就是这个解的构造过程。”

“这就是剩余定理吗？”妞妞问道。

那么最小正整数解就是：

“这就是现代数论中著名的剩余定理。也被世界上的数学家公称为‘中国剩余定理’，以纪念我们的祖先在这方面的卓越的贡献。”

妞妞问：“这个公式看上去确实非常美，有一点我不太懂，什么是互素呢？”

“互素就是他们彼此没有公约数（除了1之外），两两互素就是任何两个数字都没有公约数。只有这样才能保证公式的正确。妞妞能不能够用这个公式完成下面的一个题目呢？”爸爸交给妞妞一张纸，上面有这样一个题目：

有一个数，除5余3，除7余2，除11余7，除13余6，请问这个数最小是多少？