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二十八美丽的雪花与恐怖的病毒（第3页）

所以m和n中至少有一个等于3。

有m=3、4、5，于是E=6、12、30，而F=4、8、20。

这是正四面体，正八面体和正二十面体。

同样理由，设m=3，那么n=3、4、5，于是E=6、12、30，而F=4、6、12。

这就给出了正四面体，正六面体（立方体）和正十二面体。

“太不可思议了！”妞妞惊呼道。

“这个证明其实已经挺简单的了。不过还有更简单的证明。”爸爸微笑着一边说，一边写下一些文字。

“正多面体就是各个面都是相等正多边形的多面体。先来看看什么样的正多边形可以构成正多面体的面。

“设正多边形内角为A，多面体顶角是正n面角（n≥3），那么显然应该有n×A＜360°，所以A＜120°，否则无法构成一个多面体。

“所以正多面体的面只能是正三角形，正四边形和正五边形。边数更多时A就越大，不成立了。

“讨论情形有：如果是正三角形，则A=60°，n=3，4，5；

如果是正四边形，则A=90°，n=3；

如果是正五边形，则A=108°，n=3。

“这就是上面的五种正多面体。如果要进一步算出它们的顶点数、边数和棱数，只需要简单套用欧拉公式，这里就不说了。”

妞妞不说话，安静地琢磨着这个简单证明中的妙处。

“在最后我们来讨论一个比较难的问题。你看，足球是由二十个正六边形、十二个正五边形组成。若从正二十面体棱边的三分之一处切去十二个角，就是个足球。”

“对呀！”妞妞问，“你的问题是什么呢？”

“如果只知道足球表面是由正五边形（黑皮子）和正六边形（白皮子）的皮革拼缝成的，要你根据欧拉公式计算一个足球共有多少个这样的五边形黑皮子和六边形白皮子，你会算吗？”

妞妞想了想，摇摇头。爸爸说：“我来讲给你听听看。”一边说，一边写下一些关键的证明文字。

“足球是简单凸多面体，满足欧拉公式F-E+V=2，我们还是用F、E、V分别表示面、棱、顶点的个数。

“设足球表面正五边形（黑皮子）和正六边形（白皮子）的面各有x个和y个，那么我们有：

面数F=x+y，

“解得x=12，也就是有12块正五边形的黑皮子。不过我们还不能解出正六边形的白皮子数量。不过，别急，我们看黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的。而对白皮子而言，每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起，黑白交叉。

“所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有60×2=120条边。

“120÷6=20，共有20块白皮子。”

“确实有意思。”妞妞扭头看了看窗外，“爸爸，我想出去打雪仗，你和我们一起玩吧！”

雪花又开始无声地飘落。

窗外有人在拍照，有人在扫车。雪地里一大群孩子们叽叽喳喳在堆一个巨型的雪人，还有几个在远处的小花园打雪仗。

多么难得的快乐时光！让孩子们撒撒欢吧！