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二计算积差相关系数的基本公式（第2页）

（1）求每一个变量的总和，即∑X和∑Y的值；

（2）求每一个变量的平方和，即∑X2和∑Y2；

（3）求成对变量乘积之和、每个变量和的乘积，即∑XY和∑X∑Y的值；

（4）代入公式5-3a计算r。

这个例题中的数据，如果要用公式5-1a和公式5-1b来计算积差相关系数，具体步骤为：

（1）计算每一个变量的平均数，即和的值；

（2）计算每一个变量的标准差，即sX和sY的值；

（3）求每一个变量的离均差，即x和y的值；

（4）求每个变量离均差的平方和与两个变量离均差的乘积之和，即∑x2、∑y2和∑xy的值；

（5）代入公式5-1a或公式5-1b计算r。

如果用公式5-2计算相关系数，就要计算每一个变量的标准分数与两个变量标准分数的乘积之和，即ZX、ZY和∑ZXZY。

具体计算过程如下：

表5-3用离均差、标准差和标准分数计算相关系数的步骤

将∑xy、N、sX、sY代入公式5-1a得：

将∑xy、∑x2、∑y2代入公式5-1b得：

将∑ZXZY、N代入公式5-2得：

可以发现用公式5-1a或公式5-1b计算的相关系数与用公式5-2计算的相关系数值是相同的。

如果表5-3中身高与体重的单位用市制单位尺和斤来表示，无论平均数、标准差，还是离均差乘积之和，都与测量单位用公制单位厘米及千克表示的时候明显不同，如表5-4所示。同一组被试的身高与体重，由于测量单位不同，可得到不同的协方差值。因而两个变量的一致性程度无法直接用协方差表示，若把离均差换成标准分数表示，则可得到相同的结果。表5-4中是把表5-3中身高与体重的数据单位转换成了相应的尺和斤之后的数据，该例说明了必须将每个离均差转换成标准分数的道理。

表5-4不同测量单位的数据计算相关系数比较

将∑xy、N、sX、sY代入公式5-1a得：

将∑xy、∑x2、∑y2代入公式5-1b得：

将∑ZXZY、N代入公式5-2得：

与表5-3中的数据比较，发现两种不同观测单位计算的标准分数ZX及ZY略有差异，这是由于在单位转换及计算中引进了计算误差所致。另外，也会看到，当两个变量的单位为厘米和千克时，协方差为22。85，当两个变量的单位转换为尺和斤时，协方差则为1。371。进一步验证了协方差因同一数据单位的不同而发生的差异，说明它是不稳定的。