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06 数之冰山的水下部分（第1页）

06数之冰山的水下部分

引言

图7数轴上在0附近的中央部分

不过，人们在19世纪最伟大的成就之一是充分意识到数域其实不是一维的，而是二维的。复数构成的平面才是大部分数学论辩的天然场地。这个结论是数学家和科学家通过解决问题才意识到的——为了能够开展研究，解决现实中的问题，有必要扩展数的边界，尽管很多问题似乎只跟普通的自然数有关。关于这个额外的维度是怎样出现的，我们将在本章的末尾做出解释，并在第8章中进一步探讨这个话题。

加和减

整数指代所有“整的”数组成的集合，包括正的、负的以及0。这个集合通常用字母Z来表示，它向两边无穷延伸：

{…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…}

我们常把整数看作水平数轴上等距的点，它们按以上的次序排列。为了能用整数运算，下面总结了我们需要知道的额外的规则：

（a）加上或减去一个负整数-m：加的时候我们向左移动m个位置，减的时候我们向右移动m个位置。

（b）乘以负整数-m：我们将原整数乘以m，接着再改变符号。

换句话说，加上或者减去负数的方向和正数情况下的相反，而将一个数乘以-1则会使得它的符号反转。比如：8＋（-11）=-3，3×（-8）=-24，（-1）×（-1）=1。

你无须为最后那个式子困扰。首先，一个负数乘以一个正数得到负数，这是合理的。因为当债务（负的量）产生了利息（一个大于1的正乘数），结果会是更重的债务，也就是说一个值更大的负数。这一点我们都很清楚。一个负数乘以一个负数，应该给出相反的结果，即一个正数，这样才与前面的一致。我们甚至可以给负负得正这个事实一个严格的证明。它基于这样的假设：我们希望扩展的整数系统包含了原来的自然数，并且继续遵守所有代数运算的普通规则。事实上，两个负数的积可以从任何数乘以0等于0推出。（这个结论也不是一个假设，而是代数法则的必然结果。）我们现在有：

-1×（-1＋1）=-1×0=0。

将括号拆开，我们看到要想左边等于0，（-1）×（-1）必须与（-1）×1反号，换句话说（-1）×（-1）=1。

分数和有理数

因此，我们找到了原分数的埃及分解：

将这个等式应用于m=9，p=4，q=5，我们立即得到

这样的技巧常常被用于简化包含无穷重复过程的表达式。比如，考虑下面这个令人生畏的式子：

通过求平方，接着再一次平方，左侧变成a4，而右侧的表达式变成：

由于5后面跟着的正是a的表达式，我们推知a4=20a，于是a3=20，或者a是20的立方根——如果你更喜欢这样说。在第7章中我们会再次用到这个技巧，那里我们将介绍所谓的连分数（uedfra）。