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第16讲 概率分布图帮助我们进行更加通用的推理（第2页）

例如，若t＝0。5，那么事件{0≤x＜0。5}则表示“选取一个大于等于0且小于0。5的数值”。如果用赌盘来解释，则表示：球落在0≤x＜0。5范围内的号码中。这一范围内，能够由此做出比率占“一半”的判断。那么，如果设置其概率为0。5（＝t），也是符合“大致相同”观点的逻辑的。同理，若t＝0。7，那么事件“0≤x＜0。7”可以看作是“0≤x≤1的70％”，因而设定事件E的概率为0。7（＝t）是再自然不过的事了。如果用图表16-3这样的面积图来分析，就会发现该方法与我们一直以来掌握概率的方法，其实是一脉相承的。

图表16-3［0，1］-赌盘的概率

16-4［0，1］-赌盘模型中的一般事件的概率

根据上一节中的基本设定，在［0，1］-赌盘的概率模型中，所有必要事件的概率都能够依据“概率的加法法则”计算出来。

例如，我们可以试着在“选取0。5≤x＜0。7范围中的x”这一事件中，计算“0。5≤x＜0。7”的概率。现在，把0≤x＜0。5和0。5≤x＜0。7这两个范围合并起来，可以得到0≤x＜0。7这一取值范围。因此，根据概率的加法法则可以得出：

p（0≤x＜0。5）＋p（0。5≤x＜0。7）＝p（0≤x＜0。7）

如上一节中所设定的，由于第1项的值为0。5，第3项的值为0。7，所以第2项的值可以确定为：

P（0。5≤x＜0。7）＝0。7-0。5＝0。2

以上计算过程看似烦琐，但只要考虑到0。5≤x＜0。7这一范围，有着0。2的浮动空间，那么自然也可以认为概率就是0。2了（图表16-4）。

图表16-4［0，1］-赌盘模型的一般事件

［0，1］-赌盘模型，即“从0≤x≤1的范围中，随机抽取一个数值”的模型。该模型的端点为0和1，长度为1，可以说是一个极其特殊的例子。而一般意义上的均匀分布是类似于“从2≤x＜5的范围里，随机抽取一个数值”这样的。至于这种情况，可以通过图表16-5来试着理解。

图表16-5［2，5］-赌盘的概率

16-5能够用图说明复杂概率模型的“概率分布图”

均匀分布是指，由无限个数值构成的概率模型。如果只解决这个问题，那么相比于一直以所使用的长方形的图相比，也是毫不逊色的。但对于同样的连续无限型概率模型，在后文将要解说的贝塔分布和正态分布等情况下，如果使用长方形的图解进行说明，会难于理解。那么，在这里，我们用图示来解析概率模型，不再使用长方形的面积图，而是通过其他方法，也就是概率分布图。

概率分布图是指，在“横轴上设定表示事件的数值、在纵轴上设定概率”的图表。

图表16-6骰子的概率分布图

通过观察图表，我们能够从视觉上对各事件的概率进行计算。例如，出现2≤x≤4的点数的概率，也就是2～4这3根柱子的高度之和，为：

接下来要做的是，描绘均匀分布的［0，1］-赌盘模型的概率分布图。该图为6根柱子组成的骰子的概率分布图，需要注意的是，虽然我们可以把它想象成由无限个细微的部分组成，但实际上还是有所差异的（图表16-7）。

首先，横轴上排列着无数个满足条件0≤x≤1的数值x。因此，图表只存在于0≤x≤1这一取值范围之内，横线AB的高度为1。这里需要注意的是，“高度1”所指的并非抽取到各个x的“概率”。实际上，正如方才解说的那样，对应各个x的整合性的概率值只有0，如果为1会很奇怪。例如，在x＝0。5时，纵向线段CD的长度1，而这并不是抽取到0。5的概率。

图表16-7均匀分布的概率分布图

在诸如均匀分布这种连续型概率模型中，用来表示的概率并不是“高度”，而是“面积”。如果考虑面积的话，那么CD只是一条线段，面积为0，这样想就符合了整合性的要求。

例如，基本事件{0。5≤x＜0。7}的概率，也就是图表16-8中涂有颜色的长方形的面积。该长方形的横为0。2，纵为1，因此面积为0。2×1＝0。2，这与上一节中所解说的基本事件{0。5≤x＜0。7}的概率是一致的。

图表16-8在连续型的概率分布图中，用面积表示概率

用比喻性的方式来解释“概率的密度”与“概率”的关系，则就像是“速度”和“距离”之间的关系。例如，“分速10米”并不是指“距离”意义上的米，而是指瞬间的速度。从这个意义上来讲，距离为0。“分速10米”表示：如果按照当前的状态持续1分钟，将会前进10米的距离。因此，如果以分速10米前进5分钟，那么前进的距离就是10×5＝50米。也就是说，速度是根据所花费的时间，首次转化为距离的量。而概率密度的含义也大致相同，是指根据区间所占的宽度，首次转换为概率的量。

第16讲·小结

1．抛硬币或掷骰子的试验，是各个数被设定为“大致相同”的概率模型。

2．在［0，1］-赌盘模型中，0≤x≤1的数值被设定为“大致相同”。

3．［0，1］-赌盘模型是均匀分布的概率模型，它的基础是事件{0≤x＜t}所占有的区间。

4．设定事件{0≤x＜t}的概率p（{0≤x＜t）为宽度t。

5．概率分布图是指，设定横轴为数值、纵轴为概率的图表。在连续型的情况下，纵轴则不用来表示概率本身，而是概率的密度。

6．均匀分布的概率分布图为水平直线（线段）。事件的概率就是长方形的面积。

7．在均匀分布中，（概率）＝（概率密度）×（区间的长度）

练习题

答案参见此处

运用［0，1］-赌盘模型，计算以下概率。

（1）p（0。2≤x＜0。7）＝（）

（2）p（（0。1≤x＜0。4）or（0。5≤x＜0。9））＝（）

（3）p（（0。3≤x＜0。7）与（0。4≤x＜0。8）的重叠部分）＝（）