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第13讲 每获得一条信息贝叶斯推理就变得更精确一些（第2页）

＝0。5×0。1×0。1:0。5×0。8×0。8

＝0。01:0。64

通过以上计算，可以得出后验概率：该壶为B壶的概率高达6465（约为98％）。换言之，可以得出如图表13-4这样的阶段性的推理结果。

图表13-4两次均取出黑球情况下的推理

如果第一次取出的是黑球，那么该壶为B壶的后验概率提高到约0。89。第二次再取出的如果依然是黑球，那么该壶为B壶的可能性就变得更大，后验概率上升到了约0。98。换言之，由于第二次和第一次取出的球颜色相同，因而强化了之前的推理结果。

13-4第二次取出的是白球的情况下的推理

那么，如果第二次取出的是白球，又会是怎样的情况呢？

从图表13-2的8种情况中，排除掉“黑球＆白球”以外的所有6种情况，只留下“黑球＆白球”的情况。

图表13-5第二次取出的是白球情况下的推理

结果如图表13-5所示，接下来再通过标准化条件，计算后验概率：

（“黑球＆白球”且为A壶的后验概率）：（“黑球＆白球”且为B壶的后验概率）

＝0。5×0。1×0。9:0。5×0。8×0。2

＝0。09:0。16

＝9:16

＝925:1625

＝0。36:0。64

根据上述过程，可以得出以下阶段性推理结果，如图表13-6所示。

图表13-6两次均取出黑球情况下的推理

我们应该怎样来理解这个结果呢？由于第一次取出的是黑球，因而该壶为B壶的可能性增大；又因为第二次取出的是白球，因而该壶为B壶的可能性有所减小。从概率的角度来讲，在第一次取出黑球之后，该壶为B壶的概率高达约0。89，而第二次取出白球之后，该壶为B壶的概率下降至0。64。但由于这一概率依然大于0。5，所以，虽然不能回到概率完全相等的中间状态，但认为该壶为B壶的可能性有所降低这一事实，是不容置疑的。

13-5根据最新的观察结果，结论发生变化

如前2节中所述，若观察到的结果为黑球，则该壶为B壶的后验概率增大；若观察到的结果为白球，则该壶为A壶的后验概率就增大。所以会理所应当地认为“白球占绝大多数的是A壶、黑球占绝大多数的是B壶”。将A壶的后验概率设为a，B壶的后验概率设为b，如图表13-7所示。

图表13-7通过信息推测结果会倾向于哪边

我们想一想，究竟通过怎样的计算方式，才能使a和b发生变化呢？

现在，假设在第n次的推理中，A壶的后验概率为a，B壶的后验概率为b。那么在第（n＋1）次推理中，结果为黑球时的结果会是怎样呢？

根据上一讲中所提到的贝叶斯推理的“序贯理性”来分析，如果计算第（n＋1）次推理的后验概率，并不需要列举前面n次的球的颜色。这是因为结果已经全部反映到第n次的后验概率中了。只要将第n次的后验概率（A壶→a、B壶→b）设定为先验概率，然后通过第n次取出黑球的信息，就可以进行贝叶斯推理了。这一点，通过分析图表13-8就可以明白，之后，进行下述标准化处理计算即可。将第n＋1次观察的后验概率设定为a’、b’。

（第n＋1次为黑球时，A的后验概率）：（第n＋1次为黑球时，B的后验概率）

＝a’：b’

＝a×0。1：b×0。8

＝a:8b

从a’：b’＝a:8b中，我们可以看出，第n次推算结果的比例关系中，只有b侧增大到了之前的8倍（需要注意的是，使相加之和为1）。因此，仅凭感觉我们就很容易理解：a’比a小，b’比b大。