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第9讲 贝叶斯推理的结果有时与直觉大相径庭② 蒙蒂霍尔问题与三个囚犯的问题（第3页）

例如，事先准备好“在游戏参加者选择了A帘，并且A帘后面的确藏有汽车的情况下，便打开B帘”。这样一来，图表9-2就需要进行相应的调整，如图表9-4所示。

图表9-4条件概率的设定

像这样，在使用考虑到分配条件概率的模型时，结论会有所不同，如图表9-5所示。

图表9-5排除不可能发生的情况

通过图表9-5我们可以了解到，A和C的后验概率会变为相等，各为12。这与想法1的结论相一致。

然而，该模型可能会受到如下批判。应该再设定“在游戏参加者选择了A帘，并且A帘后面的确藏有汽车的情况下，便打开C帘”这样的模型。这种情况下，反而会得出“一定要改选C帘”的结论。然而，如果对该批判进行深入思考的话，结论会是这样的：由于不能判断汽车的确切位置，或许还是应该对等地处理B和C会更好一些。然而，这是将“理由不充分原理”扩展到条件概率的思路，超出了通常的贝叶斯推理范围。

总之，说到底，概率性推论依存于“主观”因素——对概率现象结构的想象，因此结论会根据模型的构建方式而不同。因此可以说，概率性推论并不存在“正确的答案”，至多是“妥当的推论”罢了。这一点在贝叶斯统计学和标准统计学（内曼－皮尔逊统计学）中是相同的。

第9讲·小结

1．蒙蒂霍尔问题和三个囚犯问题，以两种不同的形式表达了相同的内容。

2．如果认为一方的观点奇怪，就不得不接受其他的观点。

3．这两个问题都可以通过贝叶斯推理来进行解答。

4．笔者认为，由于结论依存于模型的设定（如何想象概率现象），所以没有所谓的“正确答案”。

练习题

答案参见此处

在蒙蒂霍尔问题中，假设有4个帘子，请尝试通过贝叶斯推理进行求解，并将正确答案填入括号中。

如果选择了A帘，则共有9种可能性。

之后，设定主持人打开了B帘。

那么此时，

“A帘且开B”的概率＝（）×（）＝（）

“C帘且开B”的概率＝（）×（）＝（）

“D帘且开B”的概率＝（）×（）＝（）

于是，如果要使其满足正规化条件，那么在获得信息“B帘被打开”的情况下，各后验概率为：

“汽车在A帘后面的后验概率”＝（）

“汽车在C帘后面的后验概率”＝（）

“汽车在D帘后面的后验概率”＝（）

因此结论是，应该（移动不移动）帘子为宜。

专栏n关于“幸运”的两条法则

很多人相信“运气”有某种征兆。比如“茶叶棍立起来是吉兆”“找到四片叶子的三叶草会得到幸福”“木屐带断开是凶兆”等。实际上，对于这类“运气”，有两种典型的思考方式：第一种是“幸运定量法则”，第二种是“幸运唤起幸运的法则”。

第一种思考方式认为：“幸运”这种东西有一定的量，如果一段时间内接连发生幸运的事，那么后面幸运将会枯竭，接下来会发生不好的事情。用壶的例子打比方：从装有一定数量的白球（好事）和黑球（坏事）的壶中取出球，如果接连取出的都是白球的话，那么壶中剩余白球的数量将会减少，于是后面就会很容易出现黑球。

与之相反，第二种思考方式认为：走运的时候，好事会连续发生。这正是基于贝叶斯推理学的思维方式。用第7讲中的案例来解释：假设有两个壶，A壶中白球的数量多于黑球，而B壶中黑球的数量多于白球。再假设，一个人拿着A壶或B壶中的某一个，并通过从中取出球来决定自己的命运。但他并不知道自己手里拿着的是A壶还是B壶，因此只能根据取出的球来推断。正如第7讲中说明的那样：如果取出的是白球，则壶A的可能性增大；如果取出的是黑球，则壶B的可能性增大。于是，如果第一次取出的是白球，这一事实暗示着下次取出白球的可能性会很高，而这正意味着“幸运唤起幸运”的道理。

至于怎样才能收获“幸运”，根据所选择的立场不同，答案也会发生变化。如果采取第一种思路，那么在发生了好事之后，应该做的是“防止余下的幸运流失”；而如果采取第二种思路，那么在发生了好事之后，应该“顺势争取更多的幸运”。