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第15讲 在获得信息之后概率的表示方法 条件概率的基本性质（第1页）

第15讲在获得信息之后，概率的表示方法“条件概率”的基本性质

15-1运用“条件概率”来表示“贝叶斯逆概率”

通过前面的讲义大家已经了解到：贝叶斯推理来说，最重要的观点是“获得信息之后，概率发生变化”。用第2讲中的案例来具体解释，即：在癌症指标检查中，依据获得“患癌症”或是“健康”的不同信息，检查结果呈阳性的概率会发生变化。用第3讲中的案例来具体解释，则为：根据女同事认为你是“真命天子”还是“无关路人”的不同信息，收到巧克力的概率也将有所差异。

类似这样，根据有无信息、信息的种类等条件不同，概率也会随之发生变化的情况，可以用“条件概率”一词来表述。在高中阶段的数学课上，我们曾经接触过条件概率的相关知识。而在描述贝叶斯推理时，条件概率可谓是最重要的内容。因此，本讲将从基础开始详细解说，并在此基础上，通过运用条件概率，推导出贝叶斯逆概率的公式。

15-2“条件概率”把部分看作整体，从而变更数值

在这里，用掷骰子的案例来进行说明。

把一个骰子放入带有盖子的箱中，并摇晃箱子，使骰子在箱中滚动。接下来，推测骰子的点数。现在，需要求出骰子的点数为偶数的概率。然后把“骰子的点数为偶数”这个事件记为E，则：

E＝{2，4，6}

在掷骰子的概率模型中，事件E的概率为：

然而此时，有人偷偷地打开了盖子，并往箱子里看了一眼，然后告诉你“骰子的点数不是6”。那么接下来概率会发生怎样的变化呢？由于点数为6的可能性被排除在外，那么对于概率的推算结果也会发生改变。像这样，当获得“不是现6”这条信息时，“骰子的点数为偶数”的概率被称为“条件概率”。

把“不是6”这一事件记为F，则：

F＝{1，2，3，4，5}

此时，在获得“发生了事件F”这条信息的情况下，事件E的概率记为：

P（E|F）

记号p（|）的含义是：间隔符号的右侧表示获得的信息。

在计算数值的时候，比较自然的想法是使用面积图表，如图表15-1所示。

图表15-1条件概率的思维方式

如图表15-1所示，没有获得任何信息的时候，由于事件E占了整体的一半面积，因而它的概率p（E）为12。但当获得了事件F即“不是6”这一信息之后，事件F就开始变得引人注目。因此，有两个问题需要进行变更。

第1个变更：由于事件F变为了一个整体，所以应该把事件F的概率设定为1。换言之，把F的面积视为1。

第2个变更：由于事件F的发生，可能性受到了限制，因而需要在考虑事件E与事件F的共同部分的基础上，来推算概率问题。换言之，需要关注的事件为E和F的重叠部分＝{2，4}。

根据上述两个变更，需要计算的概率p（E|F），即：获得“发生事件F”这一信息之后，E的条件概率，也就是：把F看做一个整体来考虑时，“E和F的重叠部分”占F的比例。因此，可以用除法计算求出，表示为：

（E和F重叠部分的面积）÷（F的面积）

因此，可进行如下定义：

p（E|F）＝p（E和F的重叠部分）÷p（F）

进行实际计算，可得出：

总而言之，条件概率是指：把得到的消息再次设定为整体，并排除掉没有可能性的各个事件之后，重新计算出的比率。

以上说明可以写成通用的公式，如下所示：

条件概率的公式

当获得事件B这一信息之后，事件A的条件概率p（A|B），可定义为：

p（A|B）＝p（A和B的重叠部分）÷p（B）

15-3各个类别被赋予的概率＝条件概率

若要在贝叶斯推理中使用条件概率，使用方法分为两个阶段。第一阶段：按照各自的类别设定数据概率的方法；第二阶段：计算后验概率时的方法。而重要的一点是，在这两个阶段中，都可以有效利用直积试验的特性。本节将会具体解说前一种情况。

在这里，将再一次使用第7讲和第13讲中关于壶和壶里有颜色的球的例子。下面对其设定再次进行说明。

问题设定

面前有一只壶，已知这个壶不是A壶就是B壶，但是单从外表看不出究竟是哪个。而目前已知的是：A壶中有9个白球和1个黑球，B壶中有2个白球和8个黑球。现在，如果从壶里取出1个球，并且这个球是黑色的，那么，面前的这个壶究竟是A还是B呢？

在这个案例中，所有的可能性共有4种。用专有名词可以表述为：基本事件的集合＝{A＆黑球，A＆白球，B＆黑球，B＆白球}，也就是直积试验的各个事件，如图表15-2所示。

第7讲和第13讲中虽然提出了“从A壶中取出的球是黑球的概率为0。1”的观点，但并没有对其含义进行严密的说明。实际上，“从A壶中取出的球是黑球的概率为0。1”，正是指上一节中所定义的条件概率，也就是在获得“该壶为A壶”这个信息之后，得出的“取出的球为黑球”的概率。

图表15-2条件概率的设定

用公式来表达，即：