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五无限小的变数导数（第2页）

d=5t（1）

无论在哪一刹那t1的末了他所爬的距离总是：

d1=5t1（2）

我们就来计算你的弟弟在地上爬时，这一刹那的速度，就是找空间d对于时间t的导数。设若有一个极小极小的时间间隔?t，就是说刚好接连着t1的一刹那t1+?t，在这时候，那运动着的点，经过了空间?d，它的距离就应当是：

d1+?d=5（t1+?t）（3）

?d=5（t1+?t）-d1（4）

但是第（2）式告诉我们说d1=5t1，将这个关系代了进去，我们就可以得到：

?d=5（t1+?t）-5t1

化简单了便是：

这个式子表明无论在哪一刹那，速度都是一样的，总归等于5。速度既然保持着一个常数，那么这运动便是匀速的了。

不过，这个例子是非常简单的，所以要找它的结果也非常容易。至于一般的例子，那就往往很麻烦，做起来并不像这般地轻巧。

就实在的情形说，d=5t这个运动的法则，明明指出运动所经的路程（比如用尺做单位）总是五倍于运动所经过的时间（比如用分做单位）。一分钟你的弟弟在地上爬五尺，两分钟他便爬了一丈，所以，他的速度明明白白地总是等于每分钟五尺。

再另外举一个简单的运动法则来做例子，不过它的计算却没有前一个例子那样地简便。假如有一种运动，它的法则是：

&2（1）

依照这个法则，时间用秒做单位，空间用米做单位。那么，在2秒钟的末尾，所经过的空间应当是4米；在3秒钟的末尾，应当是9米；照样推下去，米的数目总是秒数的平方，所以在10秒钟的末尾，所经过的空间便是100米。

还是用空间对于时间的导数来计算这运动的速度吧！

为了要找出导数来，在时间t的任一刹那，设想这时间增加了很小一点?t。在这?t很小的一刹那当中，运动所经的距离e也加上很小的一点?e。从（1）式我们可以得出：

&）2（2）

现在，我们就可从这个式子先求出?e和时间t的关系了。在（2）式里面，两边都减去e，便得：

&）2-e

&2，将这个值代进去：

&）2-t2（3）

到了这里，我们须得将式子的右边简化些。这第一步就非将括号去掉不可。朋友！你也许忘掉了吧，我问你，（t+?t）2脱去括号应当等于什么？想不上来吗？我告诉你，它应当是：

t2+2t×?t+（?t）2

所以（3）式又可以照下面的样子写：

&+（?t）2-t2

式子的右边有两个t2，一个正一个负恰好消去，式子也更简单些：

&+（?t）2（4）

现在再把式子右边的两项中分子和分母的公因数?t对消了去，只剩下：

倘若我们所取的?t真是小得难以形容，简直几乎就和零一样，这就可以得出平均速度的极限：

于是，我们就知道在t刹那时，速度v和时间t的关系是：

v=2t

你把这个结果和前一个例子的比较一下，总可以看出它们俩有些不一样吧！最明显的，就是前一个例子的v总是5，和t一点关系没有，这里却不这般地简单，速度总是时间t的两倍。所以恰在第一秒的当儿，速度是2米，但恰在第二秒的一刹那，却是4米了。这样推下去，每一刹那的速度都不同，所以这种运动不是匀速的。