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二十五从比到比例（第1页）

二十五、从比到比例

“这次我们又要调换一个题目了。”马先生进了课堂就说，“我先问你们，什么叫作‘比’？”

“‘比’就是比较。”周学敏说。

“那么，王有道比你高，李大成比你胖，我比你年纪大，这些都是比较，也就都是你所说的比了？”马先生说。

“不是的，”王有道说，“比是说一个数或量是另一个数或量的多少倍或几分之几。”

“对的，这种说法是对的。不过照前面我们所说过的，若把倍数的意义放宽些，一个数的几分之几和一个数的多少倍，实在没有什么根源上的差别。依照这种说法，我们当然可以说，一个数或量是另一个数或量的多少倍，这就称为它们的比。求倍数用的是除法，现在我们将除法、分数和比，这三项做一个比较，可得下表：

“这样一来，比的许多性质和它的计算法，都可以从除法和分数推出来了。

“比例是什么？”马先生讲明了“比”的意义，略一停顿，看看大家都没有什么疑问，接着提出这个问题。

“四个数或量，若两个两个所成的比相等，就说这四个数或量成比例。”王有道说。

“那么，成比例的四个数，用图线表示，是什么情形？”马先生对于王有道的回答，大概是默许了。

“一条直线。”我想着，比和分数相同，两个比相等，自然和两个分数相等一样，它们应当在一条直线上。

“不错！”马先生说，“我们还可以说，一条直线的任意两点，到纵线和横线的长总是成比例的。这虽然我们现在还没有加以普遍地证明，由前面分数中的说明，无妨在事实上承认它。”接着他又说：

“四个数或量所成的比例，我们叫它作简比例。简比例有几种？”

“两种：正比例和反比例。”周学敏回答。

“正比例和反比例有什么不同？”马先生问。

“四个数或量所成的两个比相等的，叫它们成正比例。一个比和另外一个比的倒数相等的，叫它们成反比例。”周学敏再答。

“反比例，我们暂时放下，单看正比例，你们举一个例出来看。”马先生说。

“如一个人，每小时走六里路，两小时就走十二里，三小时就走十八里。时间和距离同时变大、变小，它们就成正比例。”王有道说。

“对不对？”马先生问。

“对！——”好几个人回答。我也觉得是对的，不过因为马先生既然提出来问，我想着，一定有什么不妥当了，所以没有说话。

“对是对的，不过欠精密一点。”马先生批评说，“譬如，一个数和它的平方数，1和1，2和4，3和9，4和16……都是同时变大、变小，它们成正比例吗？”

“可见得，四个数或量成正比例，不单是成比的两个数或量同时变大、变小，还要所变大或变小的倍数相同。这一点是一般人常常忽略了去的，所以他们常常会乱用‘成正比例’这个词。比如说，圆周和圆面积都是随了圆的半径一同变大、变小的，但圆周和圆半径成正比例，而圆面积和圆半径就不成正比例。”

关于正比例的计算，马先生说，因为都很简单，不再举例，他只把可以看出正比例的应用的计算法提出来。

第一，关于寒暑表的计算。

例一：摄氏寒暑表上的20度，是华氏寒暑表上的几度？

“这题的要点是什么？”马先生问。

“两种表上的度数成正比例。”周学敏回答。

“还有呢？”马先生问。

“摄氏表的冰点是0度，沸点是100度；华氏表的冰点是32度，沸点是212度。”一个同学回答。

“那么，它们两个的关系怎样用图线表示呢？”马先生问。

这本来没有什么困难，我们想一下子，就都会画了。纵线表示华氏的度数，横线表示摄氏的度数。因为从冰点到沸点，它们度数的比是：

（212-32）∶100=180∶100=9∶5

所以，从华氏的冰点F起，依照纵9横5的比画FA线，它就表明它们的关系。

从摄氏20度，往上看得B点，由B横看得华氏的68度，这就是所求度数。用比例计算是：

照四则问题的算法，一般的式子是：

要由华氏度数变成摄氏度数，自然是相似的了：

第二，复名数[25]的问题。