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六堆罗汉（第1页）

六、堆罗汉

堆罗汉这种游戏，是学校中所常见到的，这里用不到再来说明，只不过取它做个例子：从最下排起数上去，每排次第少一个人，直到顶上只有一个人为止。像这类依序相差同样的数的一群数，在数学上我们叫它们是等差数列。关于等差数列的计算，本不十分难懂，小学的算术教本里面也都有得讲到，所以这里也将它放在一边，单只讲从1起到某一数为止的若干个连续整数的和，用式子表示出来，就是：

（1）1+2+3+4+5+6+7+……

和这个性质相类似的，还有从1起到某数为止的各整数的平方和同着立方和，就是：

（2）12+22+32+42+52+62+72+……

（3）13+23+33+43+53+63+73+……

照图3看去，这个长方形由A，B两块组成，而B恰好是A的倒置，所以：

A=1+2+3+4+5+6+7

B=7+6+5+4+3+2+1

A，B的总和是相同的，各等于全个矩形的面积的一半。至于这个矩形的面积，只要将它的长和宽相乘就可得出了，它的长是7，宽是7+1，因此面积便是：

7×（7+1）=7×8=56

这个式子推到一般的情形去，就变成了：

第二、第三个例子，我们也可以用图形来研究它们的结果，不过更繁杂一点，但也更有趣味，现在还是分开来讨论吧。

从图4，我们注意小方块的数目和大方块的关系，很明白地可以看出来：

12=1

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7

……

72=1+3+5+7+9+11+13

若用话来说明，就是2的平方恰等于从1起的2个连续奇数的和，3的平方恰等于从1起的3个连续奇数的和，一直推下去，7的平方就是从1起的7个连续奇数的和。所以若要求从1到7的7个数的平方和，只需将上列七个式子的右边相加就可以了。但这个法子虽没有什么不合理，毕竟不简便，而且从它要找出一般的式子也不容易，因此我们得另找一条路。

试将各式的右边表示的和，照堆罗汉的形式堆起来，我们就得出图5的形式（为简便起见，只用1、2、3、4四个数）：

若要推到一般的情形去，那么，图8这个矩形的长是：

而它的宽却是：

n+1+n=2n+1

所以它的面积就应当是：

这就可证明：

比如，我们要求的是从1到10十个整数的平方和，n就等于10，这个和便是：

说到第三个例子，因为是数的立方的关系，照通常的想法，只能用立体图形来表示，但若将乘法的意义加以注意，要用平面图形来表示一个立方，也不是全然不可能。先从23说起，照原来的意思本是3个2相乘，若用式子写出，那就是2×2×2。但这个式子我们也可以想象成（2×2）×2，这就可以认它所表示的是2个2的平方的意思，可以画成图9的A，再将形式变化一下，更可得出图9的B。

同样地，33可以用图10的A或B表示，而43可以用图11的A或B表示。

就图9、图10、图11的B仔细观察一下，我们得出下面的关系：

图9的B的缺口恰好是12，但13和12，我们用同一形式表示，在意义上没有很大的差别，所以13刚好可以填23的缺口。

图10B的缺口，每边都是3，这和图9B的外边相等，可知13和23一起，又正可将它填满。

末了，图11的B的缺口每边都是6，又恰等于图10的B的外边。因此13、23和33并在一起，也能将它填好。就照这个填法，我们便得图12，它恰巧是13+23+33+43的总和。

从别一方面来说，图12只是一个正方形，每边的长都等于：

1+2+3+4