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五（第2页）

这是到第四次的差才相等的。

像这些例子一般的一串数，照上面的方法一次一次地减下去，终究有一次的差是相等的，这一串数就称它们为差级数，第一次的差相等的叫一次差级数，第二次的差相等的叫二次差级数，第三次的差相等的叫三次差级数，第四次的差相等的叫四次差级数……第r次的差相等的叫r次差级数。算术级数就是一次差级数，王老头子的一盘汤团，各层就成一个二次差级数。

所谓拟形数就是差级数中的特殊的一种，它们相等的差总是1。这是一件很有趣味的东西。法国的大数学家帕斯卡在他1665年发表的《算术三角形》中，就说得有这种级数的作法，他作了如后的一个三角形。

这个三角形仔细玩赏一下，趣味非常丰富。它对于从左上向右下的这条对角线是对称的，所以横着一排一排地看，和竖着一行一行地看，全是一样。

它的作法是：（Ⅰ）横、竖各写同数的1。（Ⅱ）将同行的上一数和同排的左一数相加，便得本数。即

1+1=2，1+2=3，1+3=4，……

2+1=3，3+3=6，……

3+1=4，6+4=10，……

4+1=5，10+5=15，……

5+1=6，15+6=21，……

6+1=7，21+7=28，……

7+1=8，28+8=36，……

8+1=9，……

由这个作法，我们很容易知道它所包含的意味。就竖行说（自然横排也一样），从左起，第一行是相等的差，第二行是一次差级数，每两项的差都是1。第三行是二次差级数，因为第一次的差就是第一行的各数。第四行是三次差级数，因为第一次的差就是第三行的各数，而第二次的差就是第二行的各数。同样地，第五行是四次差级数，第六行是五次差级数……

这种玩意的性质，帕斯卡很有不少的研究，他曾用这个算术三角形讨论组合，又用它发现许多关于概率的有趣味的东西。

上面已经说过了，王老头子的一盘汤团，各层正好成一个二次差级数，倘若我们能够知道计算一般差级数的和的公式，岂不是大大便宜了吗？

对，我们就来讲这个，让我们偷学帕斯卡来作一个一般差级数的三角形。

差，在英文是difference，和用S代Sum一般，如法炮制就用d代difference。本来是已够了，然而我们还可以更别致一些，用个相当于d的希腊字母Δ来代。设差级数的一串数为u1、u2、u3……第一次的差为Δu1、Δu2、Δu3……第二次的差为Δ2u1、Δ2u2、Δ2u3……第三次的差为Δ3u1、Δ3u2、Δ3u3……这样一来，就得下面的三角形。

这个三角形的构成，实际上说，非常简单，下一排的数，总是它上一排的左右两个数的差，即：

Δu1=u2-u1，Δu2=u3-u2，Δu3=u4-u3，……

Δ2u1=Δu2-Δu1，Δ2u2=Δu3-Δu2，Δ2u3=Δu4-Δu3，……

Δ3u1=Δ2u2-Δ2u1，Δ3u2=Δ2u3-Δ2u2，Δ3u3=Δ2u4-Δ2u3，……

加法原可说是减法的还原，因此由上面的关系，便可得出：

u2=u1+Δu1（1）

Δu2=Δu1+Δ2u1，u3=u2+Δu2

∴u3=（u1+Δu1）+（Δu1+Δ2u1）=u1+2Δu1+Δ2u1（2）

照样地，第二排当作第一排，第三排当作第二排，便可得：

Δu3=Δu1+2Δ2u1+Δ3u1

u4=u3+Δu3=（u1+2Δu1+Δ2u1）+（Δu1+2Δ2u1+Δ3u1）

=u1+3Δu1+3Δ2u1+Δ3u1（3）