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五初中数学 多边形的内角和教学实录与点评（第2页）

师：你的方法跟方法二有什么异同之处？

生3：第二种方法是连接对角线AC、BD交于点O，我们这种方法是在四边形内任意取一点O。

师：第二种方法其实是三种方法的一种特例。

师：刚才第一组、第二组和第六组的同学们都表现得很好，其他组的同学还有没有不同作法呢？

生4：我们小组是过点D，作DE∥AB交BC于点E，把四边形分成了一个三角形和一个梯形。

师：你们小组是怎么想到把四边形分割成三角形和梯形的？

生4：因为我们以前学过梯形的内角和为360°，刚才的同学都是用求三角形的内角和的方式，我想尝试一下运用梯形的内角和来求出四边形的内角和。

师：你们小组的这种想法真棒！请继续为我们讲解。

生4：一个三角形的内角和为180°，一个梯形的内角和为360°，就有180°+360°，但我们要减去顶点E这里的一个平角180°，所以最后求出四边形的内角和为360°。

师：赞成不？还有其他方法吗？

师：（1）我们作辅助线时，有的是在四边形顶点处取一点，有的在内部取一点，连接各顶点，分成三角形，求四边形的内角和。那么可不可以在四边形的一边上任取一点呢？在四边形外部任取一点呢？

（2）我们可以过点D作AB的平行线，把四边形分割成三角形和梯形来解决问题，又可不可以过点C作平行线呢？作高呢？

（3）前几种方法都是把任意四边形分割成熟悉的图形，我们把它补成一个熟悉的图形又能不能解决问题呢？

（使学生明确：辅助线的做法多种多样，这“一点”可以是平面内任意的一点，“割”或“补”的方法都可以尝试。只要把四边形的内角和转化成已经知道内角和的图形，就能求出其内角和）

（4）像这样把要求的四边形的内角和转化成已经知道内角和的图形来解决，把未知转化为已知，就是数学中非常重要的思想方法——转化。

（板书：转化）

师：对比以上几种方法，你认为哪种更简便？为什么？

生：第一种方法最简便。

生1：它作的辅助线最少。

生2：它分成的三角形个数最少。

生3：它分成的三角形的每个内角都属于四边形的内角，使计算简便。

师：现在你能用从多边形的一个顶点出发，联结与其不相邻的各顶点，分成三角形的方法，去求五边形、六边形、七边形等的内角和吗？请利用导学精要问题3中的图形来计算并填表。（此为导学精要问题3）

（学生先独立探究，教师对有困难的学生给予及时地指导，然后组织学生展示、交流各自的思考方法与结果）

师：现在哪个小组的同学来为我们展示探索结果呢？（展台投影展示讲解）

生：我们通过画图可以看出四边形被分成了两个三角形，五边形被分成了三个三角形，六边形被分成了四个三角形，七边形被分成了五个三角形，每个三角形的内角和为180°，所以我算出了这几个多边形的内角和，我还发现多边形被分成的三角形个数比它的边数少2，所以n边形将被分成（n-2）个三角形，内角和可以表示为（n-2）×180°。

师：大家赞成吗？还有什么疑问？

师：（1）这就是n边形的内角和计算公式。

板书：n边形的内角和等于（n-2）×180°。

在这里n表示什么？所以我们只要知道了多边形的边数，就能求到它的内角和；反之，只要知道了多边形的内角和，运用这个公式建立一个方程，我们就能求出这个多边形的边数。

（2）我们求五边形、六边形、七边形的内角和都是类比四边形的方法来解决的，这也是数学中常用到的研究方法——类比（板书：类比）。

（3）我们探究多边形的内角和时，是先从特殊的三角形、四边形、五边形等出发，从而得出n边形的内角和。这是我们探索数学问题经常常用的“从特殊到一般”的思想方法（板书：从特殊到一般）。

师：请大家阅读教材第85页至86页内容，勾画出多边形的内角和计算公式，作好笔记，并加以理解和记忆。

师：刚才大家从特殊的多边形再到一般的n边形，类比四边形将未知问题转化为已知问题探究得出了多边形的内角和计算公式，你能运用公式解决相关问题吗？请完成导学精要中学习反馈的内容。

（学生独立思考、计算，然后交流各自的解题过程）

师：请你来说说第1小题的做法。

生1：十二边形的内角和为1800°，正十二边形的每个内角的度数为125°。