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十九河图洛书（第2页）

“洛书又叫九宫图，它的横行、纵行、对角线的三个数相加之和，皆为十五，被称为人类历史上最早的魔方。相传洛书中包含了治理天下的九类大法，大禹就是根据这九类大法，制服了洪水，还将天下划为九州。

“河图稍微复杂一些，它以两个数字为一组，分成五组，以（10，5）居中，其余四组（7，2）、（9，4）、（6，1）、（8，3）依次均匀分布在四周。除中间一组数（10，5）之外，纵向或横向的四个数字，其偶数之和等于奇数之和。

“纵向数字：7、2、1、6有7+1=2+6。

“横向数字：8、3、4、9有8+4=3+9。

“所以除（10，5）之外，它的奇数之和等于偶数之和，其和为20。

“还有一个特点是它的四侧或居中的两数之差相等。7-2=6-1=8-3=9-4=10-5=5。”

妞妞觉得这个东西很有趣，“爸爸，我们数学兴趣小组做过九宫图这道题，就是把九个数字填进去，满足横竖对角线的和相等，我还是第一个做出来的呢！”

两个人游完泳，回到家里，妞妞还在想关于数阵的奇妙之处。“爸爸，我这里刚好有一道难题，就是数阵的，你给我讲讲好不好？”说着拿出自己的作业本，指着一道带图的题。

这是三个2×2格子互相重叠而成的一个数阵，要求把2～11这10个自然数填入格子中间，使得每一个2×2的格子和数相等，问和数最小是多少？

爸爸想了一会儿，“我们先把这十个数的和加起来看看有多大。”一边写下

“因为重叠了两个格子，所以三个2×2求和时有两个数字是需要重复加的。要得最小的和数，我们需要从最小的数字开始。

“没有重复数的时候，65除3除不尽。

“离65最近又能被3整除的数是66，增加了1。这显然不行，因为2到11中的任何两个数和都不可能为1。

“再下一个是69，增加了4，但是我们依旧找不到2～11中的两个不同的数，其和为4，也不行。

“再下一个数是72，增加了7，我们注意到2+5=7，也就是说2和5可以是重复的那两个数字。”爸爸把2和5填入重叠的两个格子里。

“哈哈，难怪它让你求最小和，它至少有四组答案，中间重复的数字还可以是（6，4），（8，5），（9，7）。我把（9，7）也填上你看看。这个时候2×2格子有最大和27。”

“我一会也把另外的两组填上试试，一个简单的题目原来可以这样研究！爸爸你真强！”妞妞好佩服。

爸爸觉得今天讲的东西已经很多了，于是对妞妞说：“我本来还计划给妞妞讲填数阵的游戏，要不今天就到这里了。”

妞妞不干，抱着爸爸非要讲讲。爸爸熬不过，就说：“那我简单讲讲规则。

“数阵也叫数独，在世界各地都很风靡，现在的西方报纸上还可以找到这样的游戏，网上也有许多专门的数独游戏网站，还有专门的研究书籍和游戏机。数独‘Sudoku’这个词据说是一个日本人发明的，不过我看游戏和我们的九宫没什么本质区别，不过是放大了更复杂而已。

“规则很简单，9×9个格子里，已有若干数字，你需按逻辑推敲出剩下的空格里是什么数字，使得每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每个行列及每个小九宫格里都只能出现一次。

“下面就有一个图，你试试看，这就算是思考题了。”