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二标准分数（第2页）

在实际的教育与心理研究中，经常会遇到属于几种不同质的观测值，此时，不能对它们进行直接比较，但若知道各自数据分布的平均数与标准差，就可分别求出Z分数进行比较。

【例4-8】某年高考理科数学全国平均成绩65分，标准差是12。5分，考生A、B、C三人的数学原始分数是50分、65分、85分，求他们的标准分数是多少？

答：考生A的数学标准分数是-1。2，B为0，C为1。60。

一个原始分数被转换为Z分数后，就可知道它在平均数以上或以下几个标准差的位置，从而知道它在分布中的相对地位。当原始分数的分布是正态分布时，只要求出分布中某一原始分数的Z分数，就可以通过查正态分布表得知此原始分数的百分等级，从而知道在它之下的分数个数占全部分数个数的百分之几，进一步明确此分数的相对地位。有关内容将在介绍正态分布时再做详细叙述。

2。计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置。

不同质的原始观测值因不等距，也没有一致的参照点，因此不能简单地相加或相减。在前面介绍算术平均数时，也讲到计算平均数时要求数据必须同质，否则会使平均数没有意义。但是，当研究要求合成不同质的数据时，如果已知这些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用Z分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。例如，已知高考的各科成绩分布是正态分布，但是由于各科的难易度不同，因此，各科成绩就属于不同质的数据。因此，在高考计分时，就改变了过去累加各科分数计算总分数或求平均分的方法，采用了Z分数求总分或平均分，使计分更加科学。类似这种情况也有期末成绩的总和等。一般情况，在学科测验中用Z分数合成成绩更加合理。

【例4-9】A、B两个学生在三种考试中的分数见下表，试比较二人的分数是否有差别。

解：下面用表格形式列出已知条件、求解的结果

答：两个学生在三门功课中的成绩总分没有差异。

下面是另外一个类似的例子。

【例4-10】下表是高等学校入学考试中两名考生甲与乙的成绩分数。试问根据考试成绩应该优先录取哪名考生？

解：表格的后几列列举出了计算的结果：

答：如果按总分录取则取乙生，若按标准分数录取则应取甲生。

在上例中，为何会出现这样悬殊的差别？这是由于不恰当地计算总和分数造成的，因为各科成绩难易度不同，分散程度也不同，各门学科的成绩分数不等价，亦即数据是不同质的，这时应用总和分数不够科学，故此出现这类问题，科学的方法应当用Z分数合成。从Z分数可知甲生多数成绩是在平均数以上，即使有两种成绩低于平均数，差别也小。总之成绩较稳定且在分布较高处，而乙生则不然。可见应用Z分数更趋合理。

3。表示标准测验分数。

经过标准化的教育和心理测验，如果其常模分数分布接近其正态分布，为了克服标准分数出现的小数、负数和不易为人们所接受等缺点，常常是将其转换成正态标准分数。转换公式为：

式中：Z′为经过转换后的标准正态分数；

a、b为常数；

标准分数经过这样的线性转换后，仍然保持着原始分数的分布形态，同时仍具有原来标准分数的一切优点。例如，早期的智力测验中是运用比率智商（IQ）作为智力测查的指标。

这种表示智力的方法有一定局限性，因为人到成年以后智力不再随年龄而增大，到了老年甚至智力有衰退，要用上面的公式表示则不好。因此，韦克斯勒在韦氏成人智力量表中使用离差智商这一概念表示一个人在同龄团体中的相对智力。

IQ=15Z+100

Z分数的用途非常广泛，但也有一些缺点，如计算相对比较繁杂，还有负值和零值，以标准差为单位，常常还会带有许多小数，在进行比较时还必须满足原始数据的分布形态相同这一条件。在实际研究中，由于各种原因，很难保证不同数据的理论分布形态相同。为了克服这些缺点，在教育与心理测量研究中，人们更多的是对Z分数进行线性转换，使之符合理论上的正态分布，这种分数通常叫做“正态化的标准分数”，将在后面的章节中叙述。