奇书网

一二项试验与二项分布（第1页）

一、二项试验与二项分布

（一）二项试验

二项试验又称贝努里试验，它必须满足以下几个条件：

1。任何一次试验恰好有两个结果，成功与失败，或A与A（读作非A）。

2。共有n次试验，并且n是预先给定的任一正整数。

3。每次试验各自独立，各次试验之间无相互影响。

例如投掷硬币的试验属于二项试验，每次只有两个可能结果：正面向上或反面向上。如果一个硬币掷10次，或10个硬币掷一次，这时独立试验的次数为n=10。再如选择题组成的测验，选答不是对就是错，只有两种可能结果，也属于二项试验。

4。某种结果出现的概率在任何一次试验中都是固定的。即任何一次试验中成功或失败的概率保持相同，成功的概率在第一次为P（A），在第n次试验中也是P（A），但成功与失败的概率可以相等也可以不等。

凡符合上述要求的实验称为二项试验。二项试验的例子在心理与教育实验中是很多的。第三点与第四点有时较难保证，在试验中需要认真分析，必要时仍可假设相等。例如，一般在心理和教育实验中，很难保证第一次的结果完全对第二次结果无影响。譬如，对前面题目的选答可能对后面题目的回答有一定的启发或抑制作用，这时我们只能将它假设为近似满足不相互影响。再如，某射击手的命中率为0。70，但由于身体状态、心理状态的变化，在每一次射击时，命中率并不能保证都准确的是0。70，但为了计算，只可假设其相等。

（二）二项分布

二项分布是指试验仅有两种不同性质结果的概率分布。即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测值是对立的，因而二项分布又可说是两个对立事件的概率分布。如考试中的通过与不通过，职业应聘中录取与落聘，产品试验中的成功与失败，教育投资项目的盈利与亏损，某产品质量合格与不合格，财政收支平衡与不平衡，等等现象都属于二项分布。前面提到的投掷硬币试验，要么正面向上，要么反面向上，每次只有两种可能的结果，这种试验的结果都属于二项分布。

二项分布同二项定理有着密切的关系：

或写作

在二项展开式中，各项的指数q是从n逐项减1，p则是逐项加1。展开式的各项系数亦可用杨辉三角形来表达。杨辉三角形（见图6-7）中的每一行是（p+q）n展开式的各项系数，两端值都是1，中间部分的值为上一行相邻两个值之和，三角形中每行的列数等于所在的行数。

图6-7杨辉三角形

二项分布的具体定义是：设有n次试验，各次试验是彼此独立的，每次试验某事件出现的概率都是p，某事件不出现的概率都是q（等于1-p），则对于某事件出现X次（0，1，2，…，n）的概率分布为：

【例6-4】10个硬币掷一次，或1个硬币掷十次。问五次正面向上的概率是多少？五次及五次以上正面向上的概率是多少？

（2）五次及五次以上正面向上情况有：五次、六次、七次、八次、九次、十次。所以，五次及五次以上正面向上的概率

答：五次正面向上的概率为0。24609。五次及五次以上正面向上的概率为0。623。

此题各项展开式的系数，如果用杨辉三角计算，可把杨辉三角写到（p+q）10。读者可以比较一下五次及五次以上正面向上的各项系数是否为252，210，120，45，10，1。