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附录（第1页）

附录

附录Ⅰ：近距离看自旋

自旋是“普朗克常数”的量子化倍数。普朗克常数等于一个粒子的能量除以它的频率，它的值总是恒定的：6。6×10-34J·s。粒子的自旋可以是普朗克常数的半整数倍或整数倍，即12普朗克常数，1普朗克常数，32普朗克常数，2普朗克常数，52普朗克常数等，它既可以取正数，也可以取负数（1）。

半整数自旋的粒子叫“费米子”，整数自旋的粒子叫“玻色子”，它们的行为非常不同（实例参阅第14章）。尽管所有粒子都有自旋，但并非所有粒子都有磁性。

“磁矩”是关于粒子磁性的术语。磁矩决定了粒子磁场的强度，它的公式如下：

其中，μ表示粒子的磁矩，它相当于“磁荷”。g表示朗德g因子，每个粒子的数值都是特定的。

e表示电荷，M表示质量，c表示宇宙极限速度（参阅第8章）。S表示自旋矩阵，这是一个2×2的数字网格，用于追踪粒子自旋的不同方式。

对于日常生活中的物体，我们可以用“角动量”来定义它的自旋，角动量可以衡量粒子的重量、自旋速度和旋转方向（顺时针或逆时针）。而对于量子力学中的自旋，这些数字是不够的，我们必须用四个可能的指向来描述它（我们称为自旋的四维矢）。有时自旋被称为“内禀角动量”，因为这是一种类似于角动量的性质，即使粒子处于静止状态，它也包含这部分特性。

这个方程表明，粒子的磁矩是它所有属性共同作用的结果。在施特恩-格拉赫实验中，他们实际测量的是银原子的磁矩，但由于每个粒子的质量、电荷与g都是特定的，所以原子飞行的两个方向必然是S（自旋属性）的结果。所以，尽管这个实验没有直接测量每个粒子的自旋（我们无法直接测量，因为我们甚至不知道自旋是什么样子），但我们可以通过磁性测量自旋的差异。

同样重要的还有，要使粒子具有磁性，它必须具有自旋和电荷。有自旋而无电荷的粒子，比如有12自旋而无电荷的中微子（第14章中讨论的粒子），在上述方程中e=0，所以整个方程的结果也是0。电荷与磁性息息相关，有电荷的粒子一定有磁性，反之亦然。

附录Ⅱ：求解薛定谔

求解单个质子（氢原子）周围的单个电子的薛定谔方程是可行的。然而，一旦考虑多个电子，它就会变得非常困难。

氦原子有两个质子和两个电子，所以你需要考虑每个电子与其中一个质子的相互作用、每个电子与另一个质子的相互作用、两个电子的相互作用、两个质子的相互作用，然后把所有这些结合起来。而且是在三维空间中将其结合起来。

原子或分子越大，我们需要处理的相互作用就越多，到最后即使强大的计算机也很难做到面面俱到。因此，在求和中使用几个近似值是理所当然的，这既节省了时间，又能给出近乎完整的薛定谔解。

我们经常使用的一种方法叫“轨道近似”。你可以想象原子中只有一个电子，我们给它提供更高的能量，迫使它进入高能轨道。

例如，当我们试图计算有26个电子的原子形状时，我们通常把它想象成一个氢原子，其电子能量是普通氢原子的26倍，这样看起来非常接近。

这就像是一个小孩通过踩高跷和穿大号衣服来模仿成年人。这个画面并不确切，但要感受“更大的版本是什么样子”，这是个很合适的方法。

我们使用的另一种方法叫“玻恩-奥本海默近似”，也就是假设原子核的能量与振动相比于电子非常缓慢，可以忽略不计。我们想象电子绕着一个带正电的点盘旋或波动，该点本身不值得一提。这让我们可以专注于电子以及电子之间的相互作用，而不考虑原子核对电子的影响。

但毫无疑问，薛定谔方程最好的近似解是“密度泛函理论”，由沃尔特·科恩和约翰·波普尔发明，他们因此获得了1998年的诺贝尔奖。

密度泛函理论（学术圈的人称之为DFT）是一种求解含大量粒子的分子波函数的漂亮方法。DFT并不是把每个粒子建模成单独的点，然后一次性计算它们的相互作用，而是把大糊块中的所有电子表示成一个“电子云”。

只要把所有电子弄得模糊不清，然后计算电子密度的“厚度”，你就可以谈论原子或分子在一段时间内的行为。电子云最厚的地方对应着电子最可能出现的地方，而电子云最薄的地方就是电子很少被观察到的地方。

小分子的DFT计算可以在几小时内完成，准确率通常超过90%。与严格求解薛定谔方程（计算大分子需要几年）相比，DFT已经成为量子计算的行业标准。

附录Ⅲ：爱因斯坦的自行车